Os Números Complexos

“Durante o estudo da matemática é muito comum ouvir a seguinte frase: “Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do segundo grau”. Com base na teoria dos números complexos, além de sua origem, pode-se afirmar que essa afirmação é verdadeira”?

A princípio podemos precipitadamente responder que sim, isto é, que os números complexos surgiram frente à necessidade da solução de problemas envolvendo equações de segundo grau que apresentam como resultado raízes quadradas de números negativos, porém um estudo mais aprofundado na história da matemática nos mostra que não.

Segundo Rosa (1998) as equações de segundo grau aparecem em tabuletas de argila da Suméria datadas de aproximadamente 1700 anos a.C. e muitas delas apresentavam resultados com raiz quadrada de números negativos.

Ainda segundo o autor as equações de segundo grau não aparecem nas tabuletas e na história em geral como estudos isolados, mas como soluções para problemas concretos e, desta forma, a presença de raiz quadrada de um número negativo indicava apenas que o problema apresentado não tinha solução.

Os textos matemáticos indicam que essa era a forma geral como os antigos estudiosos encaravam tal problema na solução de equações quadráticas, ou seja, que seria um problema sem solução, pois como afirmou Bhaskara (1114 – 1185 aprox.): “O quadrado de um afirmativo é um afirmativo, e a raiz quadrada de um afirmativo é dupla: positiva e negativa. Não há raiz quadrada de um negativo, pois ele não é um quadrado”.

Uma das causas que aponta para a aceitação de que tais problemas não tinham solução e de que não se buscava por essa solução é o fato de que os antigos matemáticos tinham a necessidade de justificar geometricamente a legitimidade de seus métodos algébricos.

Porém, com a necessidade de soluções para problemas com equações cúbicas se tornou incontornável a admissibilidade das raízes quadradas de números negativos como números legítimos na matemática.

Na antiguidade não eram raros os estudos com equações cúbicas, porém todas ainda envolviam estudos geométricos. Foi só a partir do Renascimento que se passou a uma busca deliberada por um método geral para a solução de equações de terceiro grau.

No século XV, o matemático Luca Pacioli declarou em seu livro “Summa de arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita” (1494), que a solução de uma equação cúbica era tão impossível quanto a quadratura do círculo. Anos depois, Scipione Del Ferro (1465 – 1526) resolveu o caso especial da cúbica na forma x^3 + px = q, com p e q positivos. Del Ferro não publicou seus estudos, mas após sua morte ficaram em posse de seu aprendiz Antônio Maria Fior, que lançou um desafio a um matemático que começava a despontar em sua época, Nicoló Fontana, apelidado de Tartaglia, para que apresentasse soluções para as equações cúbicas propostas.

Desafios entre intelectuais eram comuns e Fior de posse da solução apresentada Del Ferro desejava se destacar publicamente, acontece porém, que Tartaglia solucionou os problemas e venceu o desafio proposto, já que Fior não conseguiu solucionar todos os problemas propostos por Tartaglia que em 1535 finalmente conseguiu encontrar a solução de qualquer equação do tipo x^3 + px = q.

Outro matemático proeminente, mas bastante polêmico, era Girolamo Cardano (1501-1576), que pediu a Tartaglia sua solução para publicar em sua obra. Após diversas recusas de Trataglia, que desejava publicar sua própria obra, acabou cedendo aos apelos de Cardano, que a publicou em sua obra Ars Magna (1545). A fórmula acabou por ser conhecida como Fórmula de Cardano, cuja contribuição foi o método para a redução da equação geral do terceiro grau para o caso especial.

Depois de transformar uma equação ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 para a forma reduzida é possível aplicar a fórmula proposta por Tartaglia:

Ao contrário do que acontecia com as equações quadráticas, problemas com resultados conhecidos com três raízes reais e, portanto, legítimas, apresentavam sua solução através de um método que faz aparecer números ilegítimos como a raiz quadrada de números negativos.

Foi Rafael Bombelli, engenheiro e matemático italiano, que descreveu tal problema em seu livro L'Algebra parte maggiore dell'Arithmetica de 1572 e apresentou pela primeira vez estudos onde propunha que que os números

obtidos através da fórmula de Tartaglia e publicado por Cardano na solução da cúbica x^3 = 4 + 15x , a qual ele sabia ter raiz verdadeira x = 4, deveriam ser da forma:

A ideia dos números complexos ainda não era bem aceita e vista com desconfiança, até o nome que receberam à época, números sofísticos, deixava claro o desconforto com que eram tratados.

Na primeira metade do séc.XVII os matemáticos franceses Pierre Fermat (1601 – 1665) e René Descartes (1596 – 1650) desenvolveram quase que simultaneamente ao que conhecemos hoje como Geometria Analítica.

Segundo Cerri e Monteiro (2001) “Com o domínio da geometria Analítica Descartes estudou, entre outras coisas, as equações algébricas. Em uma passagem do Discurso do Método Descartes escreveu a seguinte frase: Nem sempre as raízes verdadeiras (positivas) ou falsas (negativas) de uma equação são reais. As vezes elas são imaginárias". Por essa razão o número raiz quadrada de -1 é até hoje conhecido como “número imaginário”, termo que se consagrou juntamente com a expressão “número complexo”.

Muitos matemáticos se dedicaram ao estudo dos números complexos como Moivre e os irmãos Jean e Jacques Bernoulli, mas o principal expoente foi sem dúvidas Leonhard Euler, nascido na Suíça em 1707 foi um dos matemáticos que mais produziu e publicou até sua morte em 1783.

Euler se dedicou muito e tem importantes contribuições com relação à simbologia matemática que é muito empregada até hoje, incluindo a notação i substituindo

Euler passou a estudar números na forma z = a + bi, com a e b números reais e i^2 = -1.

Tartaglia nos ofereceu através de sua fórmula, mesmo ainda sem saber ao certo, todas as soluções de equações do tipo x^3 + px + q = 0. Bombelli avançou no sentido de dar os primeiros passos na compreensão dos números complexos, mas foi Euler que com inúmeras contribuições se tornou conhecido como o matemático que dominou os números complexos.

Muitas foram as implicações dos estudos de Euler e depois de sua demonstração de que as equações do tipo z^n = w tinham n soluções em C. Essa demonstração levou um jovem matemático, que aos 21 anos apresentou em sua tese de doutorado em Matemática o que denominou de “Teorema Fundamental da Álgebra”.

Em 1799, Carl Friedrich Gauss (1777 – 1855) apresentou em sua tese um teorema que que afirmava que “Toda equação polinomial de coeficientes reais ou complexos tem, pelo menos, uma raiz complexa”.

O teorema foi posteriormente demonstrado por Argand e Cauchy. Segundo Cerri e Monteiro (2001) “o Teorema Fundamental da Álgebra resolveu a questão das soluções de equações algébricas e ainda mostrou que o conjunto dos números complexos é o melhor conjunto para se tratar do assunto, pois contém todas as soluções de qualquer equação algébrica, de qualquer grau”.

Como pudemos ver a descoberta, o desenvolvimento e o domínio dos conceitos envolvendo os números complexos tiveram um longo caminho e foram explorados pelos mais notáveis matemáticos e cientistas da história.

Já no séc. XIX os úmeros complexos encontraram grande uso no estudo da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje, é instrumental absolutamente necessário a inúmeros campos da ciência e tecnologia, porém os esforços pela sua compreensão tiveram relação com o estudo de soluções para equações cúbicas e não quadráticas como se pode erroneamente crer.

REFERÊNCIAS

BOSQUILHA, Alessandra; CORRÊA, Marlene L.P.; VIVEIRO, Tânia C. Ensino Médio São Paulo: Rideel, 2010; 1 ed. 432 p.

BERNARDES, Marisa Rezende. História da Matemática. São Paulo: Editora Sol, 2011; 1 ed. 164 p.

CERRI, Cristina; MONTEIRO, Martha S. História dos Números Complexos. São Paulo: Centro de Aperfeiçoamento de Ensino de Matemática (CAEM) -IME/USP, 2001; 13 p.

SILVEIRA, J.F. Porto da. Os números complexos foram inventados para resolvermos as equações do segundo grau? Disponível em http://www.mat.ufrgs.br/~portosil/compla.html. Acessado em: 22 abril 2017.

PINTO JÚNIOR, Ulício. A história dos números complexos: das quantidades sofisticadas de Cardano às linhas orientadas de Argand. 2009. 94 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Matemática) Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ. Rio de Janeiro.

ROSA, Mário Servelli. Números Complexos: uma abordagem histórica para aquisição do conceito. 1998. 170 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, PUC/SP. São Paulo.

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